Masa Relativista

Para que la cantidad de movimiento lineal se conserve, sin considerar el sistema de referencia, la masa de un cuerpo debe variar en la misma proporción que la longitud y el tiempo. Si la masa de un objeto en reposo es m₀, la masa m de un cuerpo que se mueve con velocidad v se medirá con la ecuación:

Masa Relativista

Aquí, a la masa m se le denomina masa relativista.

Ejemplo:

Se tiene un electrón, su masa en reposo es de 9,1 x 10^{-31 kg. Determine su masa relativista si su velocidad es de 0,8c}

Se sabe que

cuando v=0,8 c, se utiliza este cálculo y se sustituye en la ecuación:

, de donde resulta:

Esto indica un 67% de incremento en la masa.

Es importante saber que en la ecuación

si m₀ no es igual a 0, el valor de la masa relativista m se aproxima al infinito a medida que v se aproxima a c. Es decir, sería necesaria una fuerza infinita para acelerar una masa diferente de cero hasta la velocidad de la luz.

De manera aparente, la velocidad de la luz en el vacío representa el límite superior para la velocidad de ese tipo de masas. No obstante, si la masa en reposo es de cero, como en el caso de los fotones de la luz, entonces la ecuación de la masa relativista permite que v=0

Las predicciones establecidas en las ecuaciones de Einstein son asombrosas, aún hoy en día se confirman por medio de experimentos de laboratorio. Las conclusiones correspondientes asombran únicamente porque no se tiene la experiencia directa con esas fantásticas velocidades.

Relatividad de Tiempo y Efectos Paralelos

El punto clave para entender las leyes de la relatividad de Einstein, es la observación; pero se requiere de una observación distinta, con frescura; el entendimiento del mundo circunstante se basa en gran medida en la experiencia. Un viaje en avión puede estar programado para realizarse en dos horas, y se podría suponer que un observador que se encuentra en el suelo y otro que viaja en el avión registrarían el mismo intervalo de tiempo.

La experiencia parece apoyar dicha conclusión; no obstante, se puede apreciar que los períodos de tiempo en un marco de referencia general no son los mismos que los que se miden en relación con un segundo marco que se encuentra en movimiento relativo con respecto al primero.

De esta forma, el observador que va a bordo del avión juzgará que el viaje dura menos tiempo, y la persona que se quedó en tierra considerará que ese tiempo fue mayor. Por supuesto, la discrepancia aparente no es apreciable a velocidades normales.

Por lo general, las mediciones de tiempo se basan en la ocurrencia de eventos simultáneos. Por ejemplo, la aguja del segundero en un cronometro se aleja del punto marcado como cero justamente cuando un corredor abandona la línea de salida. Luego, la manecilla pasa por el punto marcado como 10 justamente, cuando el corredor cruza la meta.

La decisión de que el intervalo de tiempo fue de 10 s se basó en la medición de estos eventos simultáneos; pero las leyes de Einstein obligan a cuestionar si los eventos que se consideran simultáneos respecto a un marco de referencia lo serían también con respecto a un marco de referencia en movimiento.

Para ejemplificar la relatividad de las mediciones simultaneas, Einstein desarrolló un experimento reflexivo.

En la figura se simula que un vagón se carga se mueve a lo largo de las vías a velocidad uniforme. De esta forma caen dos rayos, uno en cada extremo del vagón, dejando las marcas A₀ y B₀ en el mismo y las marcas A y B sobre la tierra. Un observador P₀ se encuentra en el punto medio del vagón y otro observador P está junto a las vías, a la mitad del camino entre los puntos A y B.

Cada observador vio las señales luminosas emitidas por los rayos. Asimismo, debe tomarse en cuenta que la velocidad de la luz c es constante para cada observador y no es afectada por el movimiento del vagón.

De manera simultánea parecen ocurrir las señales luminosas que le llegan al observador P. Estas señales viajaron la misma distancia, y se piensa que los eventos ocurrieron al mismo tiempo. Por su parte, el observador P₀ observó que: en el momento en que la señal luminosa que proviene de B₀ llega al punto P en el suelo, ya ha pasado el punto P0 sobre el vagón en movimiento. La luz que proviene de A₀ todavía no ha llegado al punto P₀.

La apreciación de la persona que está sobre el vagón es que los eventos no ocurrieron al mismo tiempo. ¿Quién tiene la razón? Según el principio de la relatividad, no existe un marco de referencia preferencial, por lo que se concluye que cada uno de ellos está en lo correcto desde su propia perspectiva.

Movimiento Relativo e Intervalos de Tiempo

Los intervalos o periodos de tiempo resultan afectados por el movimiento relativo. Si una persona que viaja a bordo de una nave espacial lleva consigo un reloj, éste le indica un intervalo de tiempo apropiado ∆t₀ más corto que el intervalo correspondiente medido (∆t) desde el laboratorio terrestre. El intervalo de tiempo ∆t se calcula como sigue:

Dilatación del Tiempo

A este retardo del tiempo o intervalos de tiempo más largos, como función de la velocidad se ha dado el nombre de dilatación del tiempo.

Debe notarse que ∆t y ∆t₀ representan intervalos de tiempo, o el tiempo que pasa desde el principio hasta el final de un evento. En consecuencia, un reloj que camina más despacio registra intervalos de tiempo más largos.

Es posible afirmar que el tiempo se ha detenido cuando se vuelve imposible medir un fenómeno; esto significa que: el intervalo de tiempo es infinito. Precisamente, esto es lo que predice la ecuación de dilatación del tiempo en el límite en que v = c.

Ejemplo:

Una nave espacial pasa frente al observador a 0,8c, al medir el tiempo entre dos sonidos consecutivos del tic tac del reloj de la nave se registra con un tiempo de 1,67 segundos. Encuentre el tiempo entre los dos tic tac consecutivos que mide un pasajero de la nave.

Se tiene que ∆t= 1,67 seg. y ∆t₀ se determina a partir de la ecuación: .

Hay que tener presente que

= 0,6

cuando v= 0,8c. Al despejar ∆t₀ de la ecuación

se tiene que:

De esta forma, el intervalo medido por la persona de la nave es más corto que el intervalo medido por el observador.

Masa energía y cantidad de movimiento en relatividad

Consideremos un experimento de balística, donde un observador, por ejemplo S’, dispara un proyectil en dirección del eje y’. El Proyectil penetra en un bloque que permanece inmóvil respecto al observador. Es lógico suponer que la cantidad de proyectil que penetra en el bloque pueda determinarse a partir de la componente y’ de la cantidad de movimiento del proyectil, dada por p’_y = m’ u’_y, donde m’ es la masa del proyectil medida por S’.

Ahora consideremos el mismo experimento desde el punto de vista del observador S, para quien S’ se mueve a lo largo del eje común x x’ con velocidad v.

El orificio dejado por el proyectil forma ángulo recto con la dirección del movimiento relativo, por lo que S y S’ estarán de acuerdo en cuanto al valor de la distancia que el proyectil penetra en el bloque y, por lo tanto, esperan que el valor de la componente en y de la cantidad de movimiento del proyectil sea el mismo para ambos.

La cantidad de movimiento medido por S es p_y= mu_y, donde m es la masa medida por S. De las transformaciones de Lorentz para la velocidad y teniendo en cuenta que u’x = 0 se obtiene:

Por lo tanto:

Puesto que p’_y= m’u’_y, si ambos observadores asignan el mismo valor a la masa, es decir, m’= m, resultará que p’_y¹ p_y, como se puede ver esto sería contrario a lo que se esperaba.

Una vez llegados a este punto tenemos dos alternativas. O suponemos que los principios sobre cantidad de movimiento (en particular, su conservación) no se cumplen a grandes velocidades, o buscamos la forma de redefinirlo, con el fin de que los principios sobre cantidad de movimiento sean aplicables a la relatividad especial. Esta última alternativa fue la seleccionada por Einstein. Este demostró que para todos los observadores son validos los principios sobre cantidad de movimiento, y dedujo mediante unos complicados procedimientos que la masa no es una constante y que varia según la siguiente ecuación:

En esta ecuación m es la masa relativista de una partícula que se ve moverse con rapidez u. La masa relativista de una partícula es la que le corresponde cuando se mueve con velocidad comparable a la de la luz. La masa m₀ se denomina masa en reposo de la partícula. La masa en reposo de una partícula es la que le corresponde cuando se mueve a una velocidad muy pequeña comparada con la de la luz o cuando está en reposo.

Podemos ver que esta ecuación hará que la cantidad de movimiento sea constante.

La segunda ley de Newton en Relatividad

La fórmula clásica de la segunda ley de Newton establece que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es igual al incremento de cantidad de movimiento del cuerpo. Para introducir los efectos relativistas, debemos considerar que la masa varía con su velocidad. Así, la generalización relativista de la segunda ley de Newton es:

Energía

Imaginemos una partícula de masa en reposo m₀ que se encuentra inicialmente en reposo en x_i. Se le aplica una fuerza de módulo F en la dirección positiva de x, como se muestra en la figura de más abajo, con lo cual la partícula inicia un movimiento de velocidad creciente sobre el eje x. Para intentar saber la energía cinética que adquiere la partícula, calcularemos el trabajo desarrollado por la fuerza durante el movimiento hasta una posición final x_f, para luego igualarlo a la energía cinética de la partícula en esa posición final.

Primero trasladaremos a la mecánica relativista la definición de trabajo usada en la mecánica de Newton que dice:







A continuación iniciaremos una serie de operaciones matemáticas mediante las que podremos calcular la integral. Las ecuaciones F=dp/dt y p=mv aplicadas al caso de una sola dimensión nos dan la siguiente ecuación:


Tenemos entonces que:

Las variables m y v de la expresión entre paréntesis se relacionan por la ecuación:

Multiplicando todo por el radical y luego elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:

Multiplicando por c², esta ecuación se convierte en:

Hacemos ahora la derivada respecto del tiempo de cada uno de los términos, teniendo en cuenta que m₀ y c son constantes, para encontrar:





Diferenciando llegamos a:

Dividimos todo por –2mv, y cambiamos de miembro el primer término de forma que llegamos a:

Utilizando esta expresión en Fdx se tiene:

Como v=dx/dt, 1/v=dt/dx, por lo cual:




El trabajo será:

En esta ecuación m_i y m_f son las masas de la partícula cuando ocupa las posiciones x_i y x_f. Por el teorema fundamental del cálculo se puede obtener la última integral del segundo miembro de la igualdad para obtener:

Como la partícula estaba originalmente en reposo en x_i, entonces m_i, será igual a m_0. Se tiene, pues, el resultado:

El trabajo ejecutado por la fuerza para elevar la velocidad de una partícula incrementando por tanto su masa, es igual a la masa relativista final multiplicada por c² menos la masa en reposo inicial multiplicada también por c².

Interpretemos esta ecuación: W es una energía, por tanto las magnitudes mc² y m₀c² deberán ser igualmente energías. Específicamente, mc² es una energía asociada con la partícula cuando está en movimiento y tiene masa m. Por su parte, m₀c² es la energía asociada con la partícula cuando está en reposo con masa m₀.

Para ver su significada escribamos la ecuación anterior como:

Si consideramos la interpretación física de esta ecuación llegamos a la conclusión de que mc² es la energía total de la partícula en movimiento, ya que es igual a la suma de la energía k necesaria para ponerla en movimiento, más la energía m₀c² que tenía cuando estaba en reposo. A la energía mc² se le asigna el símbolo E y se le llama ENERGÍA RELATIVISTA TOTAL.

Por otra parte el término m₀c² se representa por E₀ y se le llama ENERGÍA DE LA MASA EN REPOSO.

Se obtiene así la famosa relación de Einstein entre la energía y la masa.

La energía relativista total de un objeto cualquiera es igual a su masa relativista multiplicada por c²

E=mc²

La energía de la masa en reposo de un objeto cualquiera es igual a su masa en reposo multiplicada por c²

E₀=m₀c²

Con estas ecuaciones Einstein pudo establecer la relación fundamental entre energía y masa. Estas dos magnitudes mecánicas están relacionadas entre sí de manera inseparable. El contenido de energía de un objeto puede ser medido por su masa, y a la inversa, puede medirse la masa de un objeto por su energía, ya que la energía es proporcional a la masa. La constante de proporcionalidad es la velocidad de la luz al cuadrado.

De esta manera se tiene ya una imagen física de por que la velocidad de la luz constituye un límite natural, o sea,por qué ninguna partícula, cuya masa en reposo m₀ sea mayor que 0 puede llegar a moverse con una velocidad igual o mayor que c.

Como podemos ver en esta fórmula mc² se aproxima a infinito, si v se acerca a c, esto implica que la fuerza aplicada a la partícula tendría que hacer un trabajo de magnitud infinita para darle a la partícula una velocidad igual a la de la luz. Para esto se consumiría una cantidad infinita de energía, que obviamente no está disponible. Si v llegara a ser mayor que c mc² sería una cantidad imaginaria.

Teoría de la Relatividad General

La teoría de la relatividad general se refiere al caso de movimientos que se producen con velocidad variable y tiene como postulado fundamental el principio de equivalencia, según el cual los efectos producidos por un campo gravitacional equivalen a los producidos por el movimiento acelerado.

La revolucionaria hipótesis tomada por Einstein fue provocada por el hecho de que la teoría de la relatividad especial, basada en el principio de la constancia de la velocidad de la luz sea cual sea el movimiento del sistema de referencia en el que se mide (tal y como se demostró en el experimento de Michelson y Morley), no concuerda con la teoría de la gravitación newtoniana: si la fuerza con que dos cuerpos se atraen depende de la distancia entre ellos, al moverse uno tendría que cambiar al instante la fuerza sentida por el otro, es decir, la interacción tendría una velocidad de propagación infinita, violando la teoría especial de la relatividad que señala que nada puede superar la velocidad de la luz.

Tras varios intentos fallidos de acomodar la interacción gravitatoria con la relatividad, Einstein sugirió de que la gravedad no es una fuerza como las otras, sino que es una consecuencia de que el espacio-tiempo se encuentra deformado por la presencia de masa (o energía, que es lo mismo). Entonces, cuerpos como la tierra no se mueven en órbitas cerradas porque haya una fuerza llamada gravedad, sino que se mueven en lo más parecido a una línea recta, pero en un espacio-tiempo que se encuentra deformado por la presencia del sol.

Los cálculos de la relatividad general se realizan en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones, tres espaciales y una temporal, adoptado ya en la teoría de la relatividad restringida al tener que abandonar el concepto de simultaneidad.

Un efecto que corroboró tempranamente la teoría de la relatividad general es la deflexión que sufren los rayos de luz en presencia de campos gravitatorios. Los rayos luminosos, al pasar de una región de un campo gravitatorio a otra, deberían sufrir un desplazamiento en su longitud de onda (el Desplazamiento al rojo de Einstein), lo que fue comprobado midiendo el desplazamiento aparente de una estrella, con respecto a un grupo de estrellas tomadas como referencia, cuando los rayos luminosos provenientes de ella rozaban el Sol.

La verificación se llevó a cabo aprovechando un eclipse total de Sol (para evitar el deslumbramiento del observador por los rayos solares, en el momento de ser alcanzados por la estrella); la estrella fue fotografiada dos veces, una en ausencia y otra en presencia del eclipse. Así, midiendo el desplazamiento aparente de la estrella respecto al de las estrellas de referencia, se obtenía el ángulo de desviación que resultó ser muy cercano a lo que Einstein había previsto.

Teoría de la Relatividad por Albert Einstein

La Teoría de la Relatividad de Einstein es un tema atractivo y altamente discutido desde que en 1905 Albert Einstein publicó su primer artículo sobre el tema, pero después de la cantidad de experimentos que concuerdan a la perfección con las prediciones que se pueden realizar a partir de esta teoría es ya una teoría totalmente aceptada.



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Teoría de la relatividad especial

Los postulados de la relatividad especial son dos. El primero afirma que todo movimiento es relativo a cualquier otra cosa, y por lo tanto el éter, que se había considerado durante todo el siglo XIX como medio propagador de la luz y como la única cosa absolutamente firme del Universo, con movimiento absoluto y no determinable, quedaba fuera de lugar en la física, que no necesitaba de un concepto semejante (el cual, además, no podía determinarse por ningún experimento).

El segundo postulado afirma que la velocidad de la luz es siempre constante con respecto a cualquier observador. De sus premisas teóricas obtuvo una serie de ecuaciones que tuvieron consecuencias importantes e incluso algunas desconcertantes, como el aumento de la masa con la velocidad. Uno de sus resultados más importantes fue la equivalencia entre masa y energía, según la conocida fórmula E=mc², en la que c es la velocidad de la luz y E representa la energía obtenible por un cuerpo de masa m cuando toda su masa sea convertida en energía.

E=mc²

Dicha equivalencia entre masa y energía fue demostrada en el laboratorio en el año 1932, y dio lugar a impresionantes aplicaciones concretas en el campo de la física (tanto la fisión nuclear como la fusión termonuclear son procesos en los que una parte de la masa de los átomos se transforma en energía). Los aceleradores de partículas donde se obtiene un incremento de masa son un ejemplo experimental clarísimo de la teoría de la relatividad especial.

La teoría también establece que en un sistema en movimiento con respecto a un observador se verifica una dilatación del tiempo; esto se ilustra claramente con la famosa paradoja de los gemelos: "imaginemos a dos gemelos de veinte años, y que uno permaneciera en la Tierra y el otro partiera en una astronave, tan veloz como la luz, hacia una meta distante treinta años luz de la Tierra; al volver la astronave, para el gemelo que se quedó en la Tierra habrían pasado sesenta años; en cambio, para el otro sólo unos pocos días".

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