La segunda ley de Newton en Relatividad

La fórmula clásica de la segunda ley de Newton establece que la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo es igual al incremento de cantidad de movimiento del cuerpo. Para introducir los efectos relativistas, debemos considerar que la masa varía con su velocidad. Así, la generalización relativista de la segunda ley de Newton es:

Energía

Imaginemos una partícula de masa en reposo m₀ que se encuentra inicialmente en reposo en x_i. Se le aplica una fuerza de módulo F en la dirección positiva de x, como se muestra en la figura de más abajo, con lo cual la partícula inicia un movimiento de velocidad creciente sobre el eje x. Para intentar saber la energía cinética que adquiere la partícula, calcularemos el trabajo desarrollado por la fuerza durante el movimiento hasta una posición final x_f, para luego igualarlo a la energía cinética de la partícula en esa posición final.

Primero trasladaremos a la mecánica relativista la definición de trabajo usada en la mecánica de Newton que dice:







A continuación iniciaremos una serie de operaciones matemáticas mediante las que podremos calcular la integral. Las ecuaciones F=dp/dt y p=mv aplicadas al caso de una sola dimensión nos dan la siguiente ecuación:


Tenemos entonces que:

Las variables m y v de la expresión entre paréntesis se relacionan por la ecuación:

Multiplicando todo por el radical y luego elevando al cuadrado ambos miembros se obtiene:

Multiplicando por c², esta ecuación se convierte en:

Hacemos ahora la derivada respecto del tiempo de cada uno de los términos, teniendo en cuenta que m₀ y c son constantes, para encontrar:





Diferenciando llegamos a:

Dividimos todo por –2mv, y cambiamos de miembro el primer término de forma que llegamos a:

Utilizando esta expresión en Fdx se tiene:

Como v=dx/dt, 1/v=dt/dx, por lo cual:




El trabajo será:

En esta ecuación m_i y m_f son las masas de la partícula cuando ocupa las posiciones x_i y x_f. Por el teorema fundamental del cálculo se puede obtener la última integral del segundo miembro de la igualdad para obtener:

Como la partícula estaba originalmente en reposo en x_i, entonces m_i, será igual a m_0. Se tiene, pues, el resultado:

El trabajo ejecutado por la fuerza para elevar la velocidad de una partícula incrementando por tanto su masa, es igual a la masa relativista final multiplicada por c² menos la masa en reposo inicial multiplicada también por c².

Interpretemos esta ecuación: W es una energía, por tanto las magnitudes mc² y m₀c² deberán ser igualmente energías. Específicamente, mc² es una energía asociada con la partícula cuando está en movimiento y tiene masa m. Por su parte, m₀c² es la energía asociada con la partícula cuando está en reposo con masa m₀.

Para ver su significada escribamos la ecuación anterior como:

Si consideramos la interpretación física de esta ecuación llegamos a la conclusión de que mc² es la energía total de la partícula en movimiento, ya que es igual a la suma de la energía k necesaria para ponerla en movimiento, más la energía m₀c² que tenía cuando estaba en reposo. A la energía mc² se le asigna el símbolo E y se le llama ENERGÍA RELATIVISTA TOTAL.

Por otra parte el término m₀c² se representa por E₀ y se le llama ENERGÍA DE LA MASA EN REPOSO.

Se obtiene así la famosa relación de Einstein entre la energía y la masa.

La energía relativista total de un objeto cualquiera es igual a su masa relativista multiplicada por c²

E=mc²

La energía de la masa en reposo de un objeto cualquiera es igual a su masa en reposo multiplicada por c²

E₀=m₀c²

Con estas ecuaciones Einstein pudo establecer la relación fundamental entre energía y masa. Estas dos magnitudes mecánicas están relacionadas entre sí de manera inseparable. El contenido de energía de un objeto puede ser medido por su masa, y a la inversa, puede medirse la masa de un objeto por su energía, ya que la energía es proporcional a la masa. La constante de proporcionalidad es la velocidad de la luz al cuadrado.

De esta manera se tiene ya una imagen física de por que la velocidad de la luz constituye un límite natural, o sea,por qué ninguna partícula, cuya masa en reposo m₀ sea mayor que 0 puede llegar a moverse con una velocidad igual o mayor que c.

Como podemos ver en esta fórmula mc² se aproxima a infinito, si v se acerca a c, esto implica que la fuerza aplicada a la partícula tendría que hacer un trabajo de magnitud infinita para darle a la partícula una velocidad igual a la de la luz. Para esto se consumiría una cantidad infinita de energía, que obviamente no está disponible. Si v llegara a ser mayor que c mc² sería una cantidad imaginaria.