Masa energía y cantidad de movimiento en relatividad

Consideremos un experimento de balística, donde un observador, por ejemplo S’, dispara un proyectil en dirección del eje y’. El Proyectil penetra en un bloque que permanece inmóvil respecto al observador. Es lógico suponer que la cantidad de proyectil que penetra en el bloque pueda determinarse a partir de la componente y’ de la cantidad de movimiento del proyectil, dada por p’_y = m’ u’_y, donde m’ es la masa del proyectil medida por S’.

Ahora consideremos el mismo experimento desde el punto de vista del observador S, para quien S’ se mueve a lo largo del eje común x x’ con velocidad v.

El orificio dejado por el proyectil forma ángulo recto con la dirección del movimiento relativo, por lo que S y S’ estarán de acuerdo en cuanto al valor de la distancia que el proyectil penetra en el bloque y, por lo tanto, esperan que el valor de la componente en y de la cantidad de movimiento del proyectil sea el mismo para ambos.

La cantidad de movimiento medido por S es p_y= mu_y, donde m es la masa medida por S. De las transformaciones de Lorentz para la velocidad y teniendo en cuenta que u’x = 0 se obtiene:

Por lo tanto:

Puesto que p’_y= m’u’_y, si ambos observadores asignan el mismo valor a la masa, es decir, m’= m, resultará que p’_y¹ p_y, como se puede ver esto sería contrario a lo que se esperaba.

Una vez llegados a este punto tenemos dos alternativas. O suponemos que los principios sobre cantidad de movimiento (en particular, su conservación) no se cumplen a grandes velocidades, o buscamos la forma de redefinirlo, con el fin de que los principios sobre cantidad de movimiento sean aplicables a la relatividad especial. Esta última alternativa fue la seleccionada por Einstein. Este demostró que para todos los observadores son validos los principios sobre cantidad de movimiento, y dedujo mediante unos complicados procedimientos que la masa no es una constante y que varia según la siguiente ecuación:

En esta ecuación m es la masa relativista de una partícula que se ve moverse con rapidez u. La masa relativista de una partícula es la que le corresponde cuando se mueve con velocidad comparable a la de la luz. La masa m₀ se denomina masa en reposo de la partícula. La masa en reposo de una partícula es la que le corresponde cuando se mueve a una velocidad muy pequeña comparada con la de la luz o cuando está en reposo.

Podemos ver que esta ecuación hará que la cantidad de movimiento sea constante.